निखिलम् - भाग 1
निखिलम् ।
प्रिय निशिकांत,
‘एकाधिकेन’ची काही उदाहरणं सोडवताना तुला उत्तराच्या डाव्या
भागातल्या गुणाकाराशी जरा झुंजावं लागलं, हे माझ्या लक्षात आलं; म्हणूनच आपण ह्या
गुणाकाराशी तह करूया. वैदिक गणितातली गुणाकाराची पहिली पध्दत म्हणजे ‘निखिलम्’
सूत्र. ते पाहण्याआधी काही संज्ञा स्पष्ट करून घेऊ.
गुण्य – म्हणजे
ज्याला गुणायचे ती संख्या.
गुणक – म्हणजे
ज्याने गुणायचे ती संख्या.
गुणाकार = गुण्य x गुणक.
गुणाकारात गुण्य आणि गुणक यांची आलटापालट केली तरी चालते. केवळ पध्दत किंवा convention म्हणून प्रथम येणार्या संख्येस गुण्य आणि नंतर
येणारीस गुणक म्हणू.
याबरोबरच
लक्षात ठेवायची गोष्ट म्हणजे चिन्हांचे गुणाकार.
+ x + = +
- x - = +
+ x - = -
गुणाकाराचं
सूत्र असं..
‘निखिलम्
नवत: चरमं दशत:।’
याचा
अर्थ असा, ‘नऊमधून सगळं आणि दहामधून शेवटचं’.
यावरून
फारसा अर्थबोध होत नाही, तेव्हा उदाहरणावरून पाहू.
8
गुणिले 7.
STEP 1 -
सर्वात
आधी गुण्य आणि गुणक यांना जवळचा असणारा 10 चा घात पाया मानायचा.
आता
गुणाकाराची याप्रमाणे मांडणी करायची.
STEP 2 -
8
: 8 च्या पुढे गुण्य – पाया = 8 – 10 = -2 लिहायचे.
7 : 7 च्या पुढे गुणक – पाया = 7 – 10 =
-3 लिहायचे.
\ ‘\’ यावरून उत्तर दोन भागांत
मिळणार, हे समजतं.
STEP 3 –
8 : -2
7 : -3
\
‘\’ च्या डाव्या
बाजूचा भाग मिळवण्याच्या पध्दती..
1) (-2) + (-3) = -5
आणि 10 + (-5) = 5
2) 8 + 7 = 15 आणि
15 – 10 = 5
3) 8 + (-3) = 5
4) 7 + (-2) = 5
यापैकी मला आवडणारी पध्दत
म्हणजे 3 किंवा 4. यात जिथे छोटे अंक येतील ती वापरायला सोपी पडते. यामुळेच मी
तिरक्या रेषेच्या डावीकडच्या भागाला Cross Algebraic Sum Term किंवा CAST म्हणते
आणि उरलेला भाग शेवटचा म्हणून उजवीकडचा भाग झाला Last term.
‘\’ च्या उजवीकडचा भाग म्हणजे फरकांचा बैजिक गुणाकार आणि हीच आपली Last term .
(-2)*(-3) = 6.
STEP 4-
8
: -2
7 : -3
5 \ 6
इथे लक्षात ठेवण्याजोगा
मुद्दा हा की, CAST ची
म्हणजे डाव्या भागाची अंतिम उत्तरातील
स्थानिक किंमत असते- ‘तो अंक गुणिले पाया’. म्हणजे याठिकाणी,
अंतिम उत्तर = (5 * 10) + 6 = 50 + 6 = 56.
शेवटी
गोंधळ होऊ नये म्हणून इथे लक्षात एवढंच ठेवायचं की, तिरक्या रेषेच्या उजव्या
बाजूला नेहमी तेवढेच अंक असू द्यायचे जितके शून्य पायामध्ये आहेत. म्हणजे इथं
10 मध्ये 1च 0 म्हणून उजवीकडे नुसते 6. पायात शून्य जास्त असले तर, उजवा भाग adjust करायचा. 10 ऐवजी 100 पाया असता
तर, 6 ऐवजी 06 असं लिहिलं असतं. अधिक अंक असतील तर ते हातचे मानून योग्यप्रकारे add करायचे.
दुसरे
उदाहरण पाहू.
98*97
पाया
100. मांडणी करू.
98
: -02
97
: -03
95
\ 06
=
9506.
आता
सूत्राचा वापर कुठे झाला असं तू विचारणं अगदीच साहजिक आहे. तर, सूत्र वापरलं ते
पाया आणि गुण्य, गुणक यांची वजाबाकी करतानाच्या step मध्ये. ही वजाबाकी करताना ‘नऊमधून सगळं आणि दहामधून
शेवटचं’ वजा केलं. म्हणजेच मांडणी सगळ्यात महत्त्वाची हेच दिसून येतं पण तीही flexible आहे, तुला सोयीची पडेल आणि गोंधळ
उडवणार नाही अशी सुटसुटीत मांडणी कर. अजून काही उदाहरणं पाहू.
7*5
(पाया
10)
7
: -3 पाया 10 आणि 10 मध्ये एकच शून्य.
5
: -5 म्हणून उजव्या भागात एकच अंक हवा, 1 हातचा
जो 15 असा मांडला.
2
\ 15
=
(2+1) \ 5
=
35
आणखी एक उदाहरण,
पाया 1000 घेऊन.
998*996
998 : -002
996 : -004
994 \ 008
= 994008.
वजाबाकी अवघड जाईल, अशी
तक्रार मात्र करू नकोस, त्यासाठीच ‘निखिलम्’ दिलंय.
हे असं का मांडलं, पाया
वगैरे कशाला घेतला, हे आता पाहू.
पहिल्याच उदाहरणावरून बघू.
8 * 7 = (10 – 2)*(10 – 3) =
100 – 30 – 20 + 6 = 100 – 50 + 6 = 50 + 6.
असे आले हे 50 अधिक 6 जे
आपण मिळवले तेच अंक थोड्या वेगळ्या पध्दतीने मांडून.
आता असंच ‘निखिलम्’ने ही
गणितं सोडवून मला mail
कर बरं!
1]
8*9
2]
97*72
3]
998*997
4]
9999*9991
5]
99993*99984
6]
999989*999987
तुझी,
ऋचा.
Comments
Post a Comment