Datta's Blog

                      वर्गं च योजयेत् | प्रिय निशिकांत, तुला आठवत असेल आपण ‘एकाधिकेन पूर्वेण’पासून सुरूवात केली. त्यानंतर आपण गुणाकाराचं ‘ निखिलम्’ पाहू लागलो. खरं तर वर्ग करणं ही गुणाकार करण्याची एक special case झाली, ज्यात गुण्य आणि गुणक दोन्ही तीच संख्या असते. पण म्हणूनच वर्ग करताना आपण काही वेगळे short cuts सहजपणे वापरू शकतो. ‘एकाधिकेन पूर्वेण’ हे सूत्र खास शेवट 5 असणार्‍या संख्यांसाठी. आता आपण वर्ग करायचा दुसरा मार्ग पाहू. – यावदूनं तावदूनीकृत्य वर्गं च योजयेत्। ह्या सूत्राचा अर्थ असा की, जिचा वर्ग करायचा आहे ती संख्या आणि पाया ह्यांच्यातला फरक त्या संख्येतून वजा करायचा (हा झाला वर्गाचा डावा भाग) आणि फरकाचा वर्ग करायचा (हा झाला वर्गाचा उजवा भाग). नेहमीप्रमाणे उदाहरणावरून पाहू. 98 चा वर्ग करू. आधी वरच्या सूत्राप्रमाणे मांडून पाहू. पाया 100 मधून 98 वजा केले, फरक आला = 100 – 98 = 2 वर्गाचा डावा भाग = 98 – फरक = 98 – 2 = 96. वर्गाचा उजवा भाग = (फरक) 2 = 2 2 = 4. पण पाया 100 म्हणून 4 ऐवजी 04 लिहायचं...

आनुरुप्येण (२) प्रिय निशिकांत,       आपण ‘आनुरुप्येण’ या सूत्रानुसार पाया अनुरूप बनवून गुणाकार मांडले, पण 94*12 अशा उदाहरणात पाया सोयीचा करून घेण्यापेक्षा गुण्य किंवा गुणक (एकमेकांना) अनुरूप बनवून घेणं सोपं पडण्यासारखं आहे. म्हणून त्याच आनुरुप्येणचा असा वापर करता येतो का ते पाहू.       उदाहरणादाखल घेतलेल्या वरच्याच गुणाकारात गुणक 12 ऐवजी 12*8 = 96 असता तर आपण ‘निखिलम्’चा वापर करून तो गुणाकार तोंडी सोडवला असता असा – (पाया 100 योजून) 94 : -06 96 : -04 90 \ 24 = 9024 पण इथे गुणक 96 नसून 12 आहे, त्यामुळे अंतिम उत्तरसुध्दा बदलून घ्यावं लागणार. पाया अनुरूप करून घेताना आपण फक्त उत्तराच्या डाव्या भागावर समर्पक क्रिया करून अंतिम उत्तर मिळवलं. याचं कारण म्हणजे आपला अंतिम उत्तर मिळवण्याचा formula – अंतिम उत्तर = ( डावा भाग * पाया ) + उजवा भाग. इथे पाया बदलून घेतल्यामुळे, उत्तराचा जो भाग बदलला गेला तो डावा भाग आपण एकप्रकारे दुरूस्त करून घेतो. आता मात्र गुणकच बदलल्यामुळे संपूर्ण अंतिम उत्तरावर त्याचा परिणाम झाला. तो काढून घेण...

निखिलम् (३) आणि आनुरूप्येण (१) प्रिय निशिकांत,       ‘निखिलम्-2’ च्या शेवटच्या समीकरणात तू अगदी बरोबर विचार केलास. 102 * 98 ह्यासाठी एक संख्या पाया 100 पेक्षा मोठी आणि दुसरी संख्या त्याच पायापेक्षा लहान आहे, त्यामुळे 102 च्या पुढे +2 आणि 98 च्या पुढे -2 लिहायचं. आणि पुन्हा ‘निखिलम्’च्या नियमांप्रमाणे सोडवायचं. म्हणजेच, 102 : +2  98 : -2 100 \ -04 उजळणी म्हणून पुन्हा सुटं लिहिते, उत्तराचा डावा भाग = तिरकी बैजिक बेरीज ( Cross Algebraic Sum-Term) = 98 + (+2) = 102 + (-2) = 100. उत्तराचा उजवा भाग = (गुण्य – पाया) गुणिले (गुणक – पाया)             = (102 – 100)*(98 – 100)             = (+2)*(-2)             = -4. (हा बैजिक गुणाकार आहे त्यामुळे ‘- ’ मुळीच विसरायचं नाही.) नेहमीप्रमाणे आता अंतिम उत्तर = (डावा भाग * पाया) + उजवा भाग = 100*100 + (-4) = 10000 – 4 ...

निखिलम्| प्रिय निशिकांत,       ‘निखिलम्’ची ओळख करून घेताना तुझ्या हे लक्षात आलंच असेल की, आपण पायाजवळच्या आणि पायापेक्षा थोड्या लहान संख्या निवडल्या. आज आपण तेच ‘निखिलम्’ 12 * 13 साठी वापरून पाहू.       मागच्याच नियमांप्रमाणे कितपत पुढे जाता येतंय ते पाहू. STEP 1 - गुण्य आणि गुणक यांना जवळचा 10 चा घात पाया मानू.       इथे पाया 10. STEP 2 - आता गुणाकाराची मांडणी.       12 :        12 – 10 = +2       13 :         13 – 10 = +3          / STEP 3 - आता पुन्हा मांडणी. 12 : +2 13 : +3    \       उत्तराचा डावा भाग मिळवण्यासाठी -       (1) 12 + (+3) = 15  किंवा       (2) 13 + (+2) = 15  किंवा       (3) 13 + 12 = 25 आणि 25 – पा...